ここでは最急降下線　サイクロイド　について記します。

まず次の動画を見て下さい。

直線の方はプラスチック製なので自由に曲げられます。いろいろやってみましたがやはりサイク
ロイドに勝つカーブはありません。ニュートンらの証明の通りです。

参考：http://www.geocities.jp/take5ybb/Physics/cycloid.html

私は証明の最後の　x=α（1-sinθ）
　　　　　　　　　　　　 y=α（θ-cosθ)
だけを使わせて頂きました。

Cycloid にはおもしろい性質があります。動画では、始点は最も高い位置から始めていますが、
終点に到達するに要する時間はカーブ上のどこから始めても同じなのです。
誰か下のExcelファイルを利用してもっとゆっくりしたスロープを作って測定してくれませんか？　
私のではストップウオッチを使ってもはかれません。

別の記事によれば、ロンドンから東京までサイクロイドのトンネルを作って滑り降りたら
４９分で着くそうです。飛行機よりはるかに早いですね。ただマッハ１００程度の速度に
耐えられないとだめじゃないかな？　　計算してないけど。。。。。
でも東京に着いたときは速度０です。

世界一早く滑る滑り台を遊園地に作ったらおもしろいですよね。子供たちが競争しますよ。

曲線の座標計算のExcelファイルはここです。